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Démonstration et construction mathématique par ordinateur

Une représentation du système de racines de E8
Il y a quelques jours, a été annoncé l'achèvement de la description d'un objet mathématique, E8, un groupe de Lie, structure inventée (ou découverte si on est platonicien) il y a 120 ans par le mathématicien Sophus Lie. Voir à ce sujet l'article du Monde de 20 mars 2007.

L'originalité de cette avancée mathématique est qu'elle repose sur l'utilisation de plusieurs jours de calcul d'un super-ordinateur et que le résultat est une matrice comportant plus de 200 milliard d'entrées polynomiales (voir The E8 calculation).

Mais quel peut être l'intérêt d'une telle description, inaccessible dans son intégralité à tout homme (60 Goctets de données compressées) ?

Selon Peter Sarnak, professeur de mathématiques à l'Université Princeton et président du comité scientifique de l'Institut américain des mathématiques, le décodage de ce groupe pourrait ouvrir la porte à d'autres innovations dans le domaine de la programmation informatique.

« Cette percée est importante non seulement pour faire avancer les connaissances mathématiques de base mais aussi pour faciliter les calculs par ordinateur permettant de résoudre des problèmes complexes, [...]. Le décodage de cette structure appelée E8, pourrait aussi très bien avoir des applications en mathématiques et physique qu'on ne découvrira pas avant plusieurs années.

L'ordinateur a déjà été mis à contribution dans les problèmes mathématiques. Il s'agit ici de ne retenir que les cas où le travail fait par l'ordinateur ne peut pas être refait ou contrôlé ligne à ligne par des hommes à cause du trop grand nombre de données ou de pas d'algorithme. Le théorème des quatre couleurs (pour colorier une carte géographique, seulement 4 couleurs différentes sont nécessaires) est un exemple d'un tel problème.

Comme le souligne Jean Yves Girard dans le numéro de la Recherche d'avril 2007, consacrés aux problèmes mathématiques difficiles, la résolution des grands problèmes des mathématiques est l'occasion de créer des concepts mathématiques opératoires inédits. Ainsi la conjecture de Poincaré, par exemple, (La sphère est le seul espace simplement connexe de dimension 3) a conduit à un développement tel en mathématique que 3 médailles Fields (le Nobel des Maths) ont récompensé les travaux qui ont amené sa demonstration en 2006. En revanche, la démonstration du théorème des quatre couleurs, effectuée il y a 30 ans par un ordinateur, n'a à ce jour eu aucune application pratique. Elle n'a fait progresser ni les mathématiques, ni l'informatique. Pour Jean Yves Girard "On a finalement grillé une question pour rien !".

Espérons que le décodage de E8 subira un autre sort, même si à la différence du théorème des quatre couleurs, il ne fait probablement pas partie de la classe des grands problèmes mathématiques

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mimi sur :

je suis d' accord avec toi ;-) :-D :-) :-O

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